补码再思考¶
2024.2.18¶
我曾在很多课程中学习过补码的知识。然而，大多数时候我受到的教育都是机械地接受: 正数和0的补码就是该数字本身再补上最高比特0。负数的补码则是将其绝对值按位取反再加1。补码可以避免+0和-0的歧义。但是为什么要这么定义，以及它是如何避免+0和-0的，很多地方都没有解释。本文通过另一种看待补码的角度，尝试解释上述问题。
首先，我们回顾原码的定义：
由于原码是强行添加的符号位，因此符号位本身并没有权重。然而，数学知识告诉我们，在一个正常的进制中，每个位上都应该有某个权重。因此，原码在数学上是不完备的，势必会产生一些问题。而这个问题在这里就体现为+0和-0。
那么事情就变得很清晰了：我们需要给符号位也赋予一个权重。
我们采用如下定义：将第N位的权重定义为\(-2^{(N-1)}\),第i (i<N) 位的权重定义为\(-2^{(i-1)}\)。
好了，这样我们的符号位也有了权重。但是，为什么是这个权重？我们可以来看看这样定义会发生什么。
我们以一个四位二进制数1101为例。当它作为无符号普通二进制数时，1101=13。当它作为补码时，1101=-3。现在我断言，它们在进行运算的时候，作用是相同的。为什么呢？这是因为四位二进制补码的表示范围是\([-2^{(4-1)},2^{(4-1)-1}]=[-8,7]\),这是一个长度为16的区间，也就是说，由于溢出的原因，所有得到的结果都要模16到[-8,7]这个区间中，所以-3就等于+13。这样，补码就巧妙地将带符号的二进制数中的负数转化为了正数，从而可以正常的进行二进制计算，而且更加符合加法器的原理。
现在我们来看看0的问题。让我们来看看1101加几等于0。由于模了16，所以16=0。所以1101+0011=10000=0000。而这个0011，也就是1101的相反数。这就是本文最开始的经验性定义的由来——因为我们要凑10000，所以把正数取反相加，就是1111，再加1，就可以完美产生10000这个数。因此，一个负数的补码，就是它对应的正数取反加1。
看到这里，你应该知道了补码的本质优势————可以通过模运算的性质，简单地将加法运算扩展到负数，而不需要特殊的硬件电路或逻辑。
最后，我还很好奇，为什么反码的英文是“1's complement”，补码的英文是“2's complement”。关于这方面的中文资料很少。知乎用户 @前端西瓜哥 在他的知乎文章补码到底是什么？中 认为：
补码原意是 “2的补数”。这个命名虽然没有描述补码的定义，但它描述了补码的一个特性：一个补码可以通过被\(2^w\)减去，得到它的相反数，即\(-x=2^w-x\)。
我认为这种说法有待商榷，因为以此类推，因为反码是1's complement，所以一个反码可以通过被1减去，得到它的相反数。而这显然与反码的定义相冲突。
还有一种说法是ChatGPT说的，它说反码只做了一个操作，涉及到1个值，所以是1's complement。补码因为还要+1，涉及到2个值，所以是2's complement。我认为这种说法也很牵强。总之我没有在中文互联网查到让我满意的答案。欢迎读者查阅相关英文文献并和我交流！